Упр.56.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\lg^2 x^2+\lg 10x-6=0$$; б) $$3^x+3^{-x+1}=4$$; в) $$2\cos^2 x-7\cos x-4=0$$; г) $$5^{2\sqrt{x}}+125=6\cdot5^{\sqrt{x}}+1$$.

а) Сделаем замену $$t=\lg x.$$ Тогда $$\lg x^2=2\lg x=2t,$$ а $$\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+t.$$ Получаем:

$$(2t)^2+(1+t)-6=0 \\\\ 4t^2+t-5=0$$

Разложим на множители:

$$4t^2+t-5=(4t+5)(t-1)=0$$

Отсюда $$t_1=-\frac54,$$ $$t_2=1.$$ Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\lg x=-\frac54 \Rightarrow x=10^{-\frac54},$$

$$\lg x=1 \Rightarrow x=10.$$

б) Сделаем замену $$t=3^x,$$ тогда $$3^{-x+1}=\frac{3}{3^x}=\frac{3}{t}.$$ Уравнение примет вид:

$$t+\frac{3}{t}=4$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-4t+3=0$$

$$(t-1)(t-3)=0$$

Отсюда $$t_1=1,$$ $$t_2=3.$$ Тогда:

$$3^x=1 \Rightarrow x=0,$$

$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

в) Сделаем замену $$t=\cos x,$$ где $$-1\le t\le 1.$$ Тогда:

$$2t^2-7t-4=0$$

$$D=49+32=81$$

$$t_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}$$

Получаем $$t_1=4,$$ $$t_2=-\frac12.$$ Значение $$t=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$ Значит,

$$\cos x=-\frac12$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Область допустимых значений: $$x\ge 0.$$ Сделаем замену $$t=5^{\sqrt{x}},\quad t>0.$$ Тогда уравнение примет вид:

$$t^2-6t+125=0$$

$$D=36-500=-464<0$$

Действительных корней нет, значит, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ

а) $$10^{-\frac54},\ 10$$; б) $$0,\ 1$$; в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) решений нет.