Упр.56.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$2^{\sqrt{x-3}}=\frac{1}{2}\sqrt{32}$$;
   б) $$10^{\log_2(x-3)}\cdot 0{,}00001=0{,}1\log_2(x-7)$$.

Решение

а) $$2^{\sqrt{x-3}}=\frac12\sqrt{32}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac12\sqrt{32}=\frac12\cdot 4\sqrt2=2\sqrt2=2\cdot 2^{1/2}=2^{3/2}.$$

Тогда

$$2^{\sqrt{x-3}}=2^{3/2},$$

откуда

$$\sqrt{x-3}=\frac32.$$

Возводим в квадрат:

$$x-3=\frac94,$$

$$x=\frac94+3=\frac{21}{4}.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x-3\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge 3.$$

Найденное значение подходит.

б) $$10^{\log_2(x-3)}\cdot 0{,}00001=0{,}1^{\log_2(x-7)}$$

Область допустимых значений:

$$x-3>0,\quad x-7>0,$$

значит, $$x>7.$$

Запишем числа в виде степеней десяти:

$$0{,}00001=10^{-5}, \qquad 0{,}1=10^{-1}.$$

Тогда

$$10^{\log_2(x-3)}\cdot 10^{-5}=10^{-\log_2(x-7)}.$$

Сложим показатели степеней слева:

$$10^{\log_2(x-3)-5}=10^{-\log_2(x-7)}.$$

Следовательно,

$$\log_2(x-3)-5=-\log_2(x-7),$$

$$\log_2(x-3)+\log_2(x-7)=5.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_2\bigl((x-3)(x-7)\bigr)=5,$$

$$(x-3)(x-7)=2^5=32.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-10x+21=32,$$

$$x^2-10x-11=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=100+44=144,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 12}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-1,\qquad x_2=11.$$

С учётом ОДЗ $$x>7$$ подходит только $$x=11.$$

Ответ

а) $$\frac{21}{4}$$; б) $$11$$.