Упр.56.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$2^x+2^{1-x}=3$$;
б) $$25^{-x}-50=5^{-x+1}$$;
в) $$5^x+4=5^{2x+1}$$;
г) $$3^{x+1}-29=-18\cdot3^{-x}$$.
а)
$$2^x+2^{1-x}=3$$
$$2^x+\frac{2}{2^x}-3=0$$
Пусть $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$y+\frac{2}{y}-3=0$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-3y+2=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y-2\right)=0$$
$$y_1=1,\quad y_2=2$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$2^x=1 \Rightarrow x=0$$
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$
Ответ: $$0; 1$$
б)
$$25^{-x}-50=5^{-x+1}$$
$$5^{-2x}-50=5\cdot 5^{-x}$$
Пусть $$y=5^{-x}$$, тогда $$y>0$$ и
$$y^2-5y-50=0$$
$$\left(y+5\right)\left(y-10\right)=0$$
$$y_1=-5 \; \text{не подходит},\quad y_2=10$$
Значит,
$$5^{-x}=10$$
$$-x=\log_5 10$$
$$x=-\log_5 10$$
Ответ: $$-\log_5 10$$
в)
$$5^x+4=5^{2x+1}$$
$$5^x+4=5\cdot \left(5^x\right)^2$$
Пусть $$y=5^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$5y^2-y-4=0$$
$$\left(5y+4\right)\left(y-1\right)=0$$
$$y_1=-\frac45 \; \text{не подходит},\quad y_2=1$$
Следовательно,
$$5^x=1 \Rightarrow x=0$$
Ответ: $$0$$
г)
$$3^{x+1}-29=-18\cdot 3^{-x}$$
$$3\cdot 3^x-29+\frac{18}{3^x}=0$$
Пусть $$y=3^x$$, тогда $$y>0$$ и
$$3y-29+\frac{18}{y}=0$$
Умножим на $$y$$:
$$3y^2-29y+18=0$$
$$\left(3y-2\right)\left(y-9\right)=0$$
$$y_1=\frac23,\quad y_2=9$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$3^x=\frac23 \Rightarrow x=\log_3 \frac23=\log_3 2-1$$
$$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2$$
Ответ: $$\log_3 2-1; 2$$
