Упр.56.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{x^2+1-2x}-6\sqrt{x-1}=7$$; б) $$\sqrt{x^2-4x+4}-6=5\sqrt{2-x}$$.

а) Обозначим $$\sqrt{x-1}=t.$$ Тогда уравнение

$$\sqrt{x^2+1-2x}-6\sqrt{x-1}=7$$

преобразуется к виду

$$\sqrt{(x-1)^2}-6\sqrt{x-1}-7=0,$$

то есть

$$t^2-6t-7=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$t^2-6t-7=(t+1)(t-7)=0.$$

Отсюда $$t_1=-1,$$ $$t_2=7.$$

Так как $$t=\sqrt{x-1}\ge 0,$$ значение $$t_1=-1$$ не подходит.

Тогда

$$\sqrt{x-1}=7,$$

$$x-1=49,$$

$$x=50.$$

Проверка: $$\sqrt{50^2+1-2\cdot 50}-6\sqrt{50-1}=49-42=7.$$

Ответ: $$50.$$

б) Обозначим $$\sqrt{2-x}=t.$$ Тогда уравнение

$$\sqrt{x^2-4x+4}-6=5\sqrt{2-x}$$

преобразуется к виду

$$\sqrt{(2-x)^2}-5\sqrt{2-x}-6=0,$$

то есть

$$t^2-5t-6=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$t^2-5t-6=(t+1)(t-6)=0.$$

Отсюда $$t_1=-1,$$ $$t_2=6.$$

Так как $$t=\sqrt{2-x}\ge 0,$$ значение $$t_1=-1$$ не подходит.

Тогда

$$\sqrt{2-x}=6,$$

$$2-x=36,$$

$$x=-34.$$

Проверка: $$\sqrt{(-34)^2-4\cdot(-34)+4}-6=38-6=32,$$ $$5\sqrt{2-(-34)}=5\cdot 6=30.$$

Исправим вычисление: $$\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|.$$ При $$x=-34$$ получаем $$|x-2|=36,$$ и тогда $$36-6=30,$$ что совпадает с правой частью.

Ответ: $$-34.$$