Упр.56.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$8x^6+7x^3-1=0$$; б) $$x^8+3x^4-4=0$$.

а) Сделаем замену: $$t=x^3.$$ Тогда уравнение примет вид

$$8t^2+7t-1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 8\cdot(-1)=49+32=81.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{16}.$$

Получаем:

$$t_1=-1,\qquad t_2=\frac18.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$x^3=-1 \Rightarrow x=-1,$$

$$x^3=\frac18 \Rightarrow x=\frac12.$$

Следовательно, $$x=-1,\ \frac12.$$

б) Сделаем замену: $$t=x^4.$$ Тогда уравнение примет вид

$$t^2+3t-4=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=-4.$$

Так как $$x^4\ge 0,$$ значение $$t=-4$$ не подходит. Остаётся

$$x^4=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Ответ: а) $$-1,\ \frac12$$; б) $$-1,\ 1$$.