Упр.56.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\sin 2x=\sin x$$;
• б) $$\cos^2(\pi-x)+\sin 2x=0$$;
• в) $$\sqrt{3}\cos 3x=\sin 6x$$;
• г) $$\sin^2\left(\pi+\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2}\sin x=0$$.

а) $$\sin 2x=\sin x$$

$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$

$$\sin x(2\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

2) $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$

Ответ: $$x=\pi n,\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\cos^2(\pi-x)+\sin 2x=0$$

Так как $$\cos(\pi-x)=-\cos x,$$ то

$$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\cos x+2\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+2\sin x=0$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

2) $$\cos x+2\sin x=0 \Rightarrow 1+2\tan x=0 \Rightarrow \tan x=-\frac12$$

$$x=-\arctan \frac12+\pi n$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\arctan \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$\sqrt{3}\cos 3x=\sin 6x$$

$$\sqrt{3}\cos 3x=2\sin 3x\cos 3x$$

$$\cos 3x(\sqrt{3}-2\sin 3x)=0$$

Отсюда:

$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

2) $$\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 3x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ (-1)^n\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$\sin^2\left(\pi+\frac{x}{2}\right)-\frac12\sin x=0$$

Так как $$\sin\left(\pi+\frac{x}{2}\right)=-\sin\frac{x}{2},$$ то

$$\sin^2\frac{x}{2}-\frac12\sin x=0$$

$$\sin^2\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0$$

1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n$$

2) $$\sin\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \tan\frac{x}{2}=1$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

Ответ: $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$