Упр.55.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sqrt{7x-6}=x$$;

б) $$x+3=\sqrt{2x+9}$$;

в) $$\sqrt{6x-11}=x-1$$;

г) $$-x-5=\sqrt{7x+23}$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{7x-6}=x.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$7x-6=x^2$$

$$x^2-7x+6=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-6\right)=0$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=6$$.

Проверим область допустимых значений: $$7x-6\ge 0,\; x\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac67.$$ Оба корня подходят.

Ответ: $$1;\ 6$$

б) Рассмотрим уравнение $$x+3=\sqrt{2x+9}.$$

ОДЗ: $$2x+9\ge 0,\; x+3\ge 0,$$ значит $$x\ge -3.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(x+3\right)^2=2x+9$$

$$x^2+6x+9=2x+9$$

$$x^2+4x=0$$

$$x\left(x+4\right)=0$$

Получаем $$x=0$$ или $$x=-4$$. Число $$-4$$ не подходит, так как не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $$0$$

в) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{6x-11}=x-1.$$

ОДЗ: $$6x-11\ge 0,\; x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac{11}{6}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$6x-11=\left(x-1\right)^2$$

$$6x-11=x^2-2x+1$$

$$x^2-8x+12=0$$

$$\left(x-2\right)\left(x-6\right)=0$$

Отсюда $$x=2$$ или $$x=6$$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $$2;\ 6$$

г) Рассмотрим уравнение $$-x-5=\sqrt{7x+23}.$$

Правая часть неотрицательна, значит и левая должна быть неотрицательной:

$$-x-5\ge 0,\quad 7x+23\ge 0.$$

Тогда

$$x\le -5,\quad x\ge -\frac{23}{7}.$$

Эти условия несовместны, поэтому уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.