Упр.55.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что уравнение не имеет корней:

а) $$\sqrt{3x-5}=\sqrt{9-7x}$$;

б) $$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{1-x^2}=4$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{3x-5}=\sqrt{9-7x}.$$

Для существования корней необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны:

$$\begin{cases} 3x-5 \ge 0,\\ 9-7x \ge 0. \end{cases}$$

Отсюда получаем:

$$\begin{cases} x \ge \dfrac{5}{3},\\ x \le \dfrac{9}{7}. \end{cases}$$

Но $$\dfrac{5}{3} > \dfrac{9}{7},$$ значит, таких значений $$x$$ не существует. Следовательно, уравнение не имеет корней.

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x^2-4}+\sqrt{1-x^2}=4.$$

Для существования выражения должны выполняться условия:

$$\begin{cases} x^2-4 \ge 0,\\ 1-x^2 \ge 0. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2 \ge 4,\\ x^2 \le 1. \end{cases}$$

Одновременно эти неравенства выполнены быть не могут, так как $$4>1$$. Значит, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет корней.

Ответ

а) Корней нет.
б) Корней нет.