Упр.55.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3$$

б) $$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5$$

а) Рассмотрим уравнения $$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3$$ и $$x^2+3x-1=3x^2+3.$$

В первом уравнении знаменатель всегда положителен:

$$x^2+1>0$$

при любом $$x\in \mathbb{R}$$, значит можно умножить обе части на $$x^2+1$$:

$$\frac{x^2+3x-1}{x^2+1}=3 \;\Longleftrightarrow\; x^2+3x-1=3(x^2+1)$$

$$x^2+3x-1=3x^2+3.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5$$ и $$\sin x+1=0{,}5\sin x+1.$$

В первом уравнении знаменатель всегда положителен, так как

$$\sin x+2\ge -1+2=1>0.$$

Значит, можно умножить обе части на $$\sin x+2$$:

$$\frac{\sin x+1}{\sin x+2}=0{,}5 \;\Longleftrightarrow\; \sin x+1=0{,}5(\sin x+2)$$

$$\sin x+1=0{,}5\sin x+1.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильны.