Упр.55.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3^{\sqrt{x}+4}\left(\frac{1}{3}\right)^x=1$$
2. $$\sqrt{(0{,}5)^x}\cdot 2^{x^2}\sqrt{2}=4$$

а) Преобразуем первое уравнение:

$$3^{\sqrt{x}+4}\cdot \left(\frac13\right)^x=1$$

$$3^{\sqrt{x}+4}\cdot 3^{-x}=1$$

$$3^{\sqrt{x}+4-x}=3^0$$

$$\sqrt{x}+4-x=0$$

Следовательно, уравнения равносильны.

б) Преобразуем первое уравнение:

$$\sqrt{0{,}5^x}\cdot 2^{x^2}\cdot \sqrt{2}=4$$

$$\left(\frac12\right)^{\frac{x}{2}}\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{\frac12}=4$$

$$2^{-\frac{x}{2}}\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{\frac12}=2^2$$

$$2^{x^2-\frac{x}{2}+\frac12}=2^2$$

$$x^2-\frac{x}{2}+\frac12=2$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: а) равносильны; б) равносильны.