Упр.55.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Равносильны ли уравнения: а) $$\sqrt{2x^2+2}=\sqrt{x^4+3}$$ и $$2x^2+2=x^4+3$$; б) $$\sqrt[4]{\sin^2(x+1)}=1$$ и $$\sin^2 x=0$$?

Проверим равносильность уравнений, возводя обе части в степень только после учета области определения и неотрицательности левых и правых частей.

а)

Рассмотрим уравнение $$\sqrt{2x^2+2}=\sqrt{x^4+3}.$$

Обе части определены при всех $$x\in \mathbb{R},$$ так как

$$2x^2+2\ge 0,\qquad x^4+3\ge 0.$$

Кроме того, обе части неотрицательны. Поэтому можно возвести обе части в квадрат:

$$\left(\sqrt{2x^2+2}\right)^2=\left(\sqrt{x^4+3}\right)^2,$$

откуда получаем

$$2x^2+2=x^4+3.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

б)

Рассмотрим уравнение $$\sqrt[4]{\sin^2 x+1}=1.$$

Обе части определены при всех $$x\in \mathbb{R},$$ так как

$$\sin^2 x+1\ge 0.$$

Обе части неотрицательны, значит можно возвести обе части в четвертую степень:

$$\left(\sqrt[4]{\sin^2 x+1}\right)^4=1^4,$$

откуда

$$\sin^2 x+1=1,$$

то есть

$$\sin^2 x=0.$$

Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: а) да; б) да.