Упр.55.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Придумайте три уравнения, равносильные уравнению: а) $$\sqrt{2x-1}=3$$; б) $$\cos x=3$$; в) $$\lg x^2=4$$; г) $$\frac{x^3}{5}=-1$$.

Используем определение равносильных уравнений: уравнения равносильны, если имеют одно и то же множество решений.

а)

$$\sqrt{2x-1}=3$$

Найдём решение исходного уравнения:

$$2x-1=9 \\\\ 2x=10 \\\\ x=5$$

Подойдут, например, такие равносильные уравнения:

1. $$7x=35$$
2. $$9-x=4$$
3. $$x^2=25$$

б)

$$\cos x=3$$

Так как значения косинуса лежат в промежутке $$[-1;1]$$, решений нет.

Подойдут, например, такие равносильные уравнения:

1. $$\frac{5}{x}=0$$
2. $$\sin 2x=-7$$
3. $$x^4=-23$$

в)

$$\lg x^2=4$$

Решим исходное уравнение:

$$x^2=10000 \\\\ x=\pm 100$$

Подойдут, например, такие равносильные уравнения:

1. $$\frac{|x|}{4}=25$$
2. $$|x|=100$$
3. $$x^2=10000$$

г)

$$x^{\frac{3}{5}}=-1$$

Так как $$x^{\frac{3}{5}}=\sqrt[5]{x^3}$$, то при действительных $$x$$ левая часть определена для всех $$x$$, но равенство $$x^{\frac{3}{5}}=-1$$ имеет решение $$x=-1$$.

Подойдут, например, такие равносильные уравнения:

1. $$x^3=-1$$
2. $$x^5=-1$$
3. $$x^7=-1$$

Ответ

а) $$7x=35,\; 9-x=4,\; x^2=25$$;
б) $$\frac{5}{x}=0,\; \sin 2x=-7,\; x^4=-23$$;
в) $$\frac{|x|}{4}=25,\; |x|=100,\; x^2=10000$$;
г) $$x^3=-1,\; x^5=-1,\; x^7=-1$$.