Упр.55.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Равносильно ли уравнение $$\sin x=0$$ уравнению: а) $$\cos x=1$$; б) $$\operatorname{tg}x=0$$; в) $$\cos 2x=1$$; г) $$\sqrt{x-1}\sin x=0$$?

Сравним множества решений каждого уравнения с множеством решений уравнения $$\sin x=0.$$

Ход решения

Решение уравнения $$\sin x=0$$:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

1. $$\cos x=1.$$

   Его решения:

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Это не все решения уравнения $$\sin x=0$$, значит, уравнения неравносильны.

2. $$\tg x=0.$$

   Его решения:

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.

3. $$\cos 2x=1.$$

   Его решения:

   $$2x=2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

   откуда

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Множества решений совпадают, значит, уравнения равносильны.

4. $$\sqrt{x-1}\cdot \sin x=0.$$

   Область определения: $$x-1\ge 0,$$ то есть $$x\ge 1.$$

   Произведение равно нулю, если

   $$\sqrt{x-1}=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

   Тогда получаем решения:

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=\pi n,\; n\in\mathbb{Z},\; x\ge 1.$$

   Это множество не совпадает с множеством решений уравнения $$\sin x=0,$$ значит, уравнения неравносильны.

Ответ

а) неравносильны; б) равносильны; в) равносильны; г) неравносильны.