Упр.55.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin 2x\cdot\sqrt{4-x^2}=0$$; б) $$(\cos 2x-1)\cdot\sqrt{9-x^2}=0$$; в) $$(\cos^2 x-\sin^2 x)\cdot\sqrt{1-x^2}=0$$; г) $$\operatorname{tg}x\cdot\sqrt{16-x^2}=0$$.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при этом учитываем область определения корня.

а)

$$\sin 2x\cdot \sqrt{4-x^2}=0$$

Область определения:

$$4-x^2\ge 0,\quad -2\le x\le 2.$$

Тогда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{4-x^2}=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$

С учётом $$-2\le x\le 2$$ получаем:

$$x=-2,\,-\frac{\pi}{2},\,0,\,\frac{\pi}{2},\,2.$$

б)

$$\left(\cos 2x-1\right)\sqrt{9-x^2}=0$$

Область определения:

$$9-x^2\ge 0,\quad -3\le x\le 3.$$

Тогда

$$\cos 2x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{9-x^2}=0.$$

1) $$\cos 2x=1 \Rightarrow 2x=2\pi n \Rightarrow x=\pi n.$$

2) $$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$

С учётом $$-3\le x\le 3$$ получаем:

$$x=-3,\,0,\,3.$$

в)

$$\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)\sqrt{1-x^2}=0$$

Область определения:

$$1-x^2\ge 0,\quad -1\le x\le 1.$$

Так как $$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x,$$ то

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{1-x^2}=0.$$

1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$1-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1.$$

С учётом $$-1\le x\le 1$$ получаем:

$$x=-1,\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,1.$$

г)

$$\tg x\cdot \sqrt{16-x^2}=0$$

Область определения:

$$16-x^2\ge 0,\quad -4\le x\le 4,$$

а также $$\tg x$$ определён при $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Тогда

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{16-x^2}=0.$$

1) $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

2) $$16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4.$$

С учётом $$-4\le x\le 4$$ получаем:

$$x=-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4.$$

Ответ

а) $$-2,\,-\frac{\pi}{2},\,0,\,\frac{\pi}{2},\,2$$; б) $$-3,\,0,\,3$$; в) $$-1,\,-\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{4},\,1$$; г) $$-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4$$.