Упр.55.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$;
• б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2$$;
• в) $$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2$$;
• г) $$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1.$$

Так как левая часть неотрицательна, то должно выполняться $$x^2-1\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^4-3x-1=(x^2-1)^2$$
$$x^4-3x-1=x^4-2x^2+1$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$(2x+1)(x-2)=0$$

Отсюда $$x=-\frac12$$ или $$x=2.$$

Проверка: $$x=-\frac12$$ не подходит, так как $$x^2-1<0.$$ При $$x=2$$ получаем верное равенство.

б) $$\sqrt{x^4-3x-1}=1-x^2.$$

Здесь нужно, чтобы $$1-x^2\ge 0,$$ то есть $$|x|\le 1.$$

Возведём в квадрат:

$$x^4-3x-1=(1-x^2)^2$$
$$x^4-3x-1=1-2x^2+x^4$$
$$2x^2-3x-2=0$$
$$(2x+1)(x-2)=0$$

Получаем $$x=-\frac12$$ или $$x=2.$$

Условию $$|x|\le 1$$ удовлетворяет только $$x=-\frac12.$$

в) $$\sqrt{x^4+x-9}=1-x^2.$$

Необходимо, чтобы $$1-x^2\ge 0,$$ то есть $$|x|\le 1.$$

Возведём в квадрат:

$$x^4+x-9=(1-x^2)^2$$
$$x^4+x-9=1-2x^2+x^4$$
$$2x^2+x-10=0$$
$$(2x+5)(x-2)=0$$

Отсюда $$x=-\frac52$$ или $$x=2.$$ Но оба корня не удовлетворяют условию $$|x|\le 1.$$

Следовательно, решений нет.

г) $$\sqrt{x^4+x-9}=x^2-1.$$

Требуется $$x^2-1\ge 0,$$ то есть $$|x|\ge 1.$$

Возведём в квадрат:

$$x^4+x-9=(x^2-1)^2$$
$$x^4+x-9=x^4-2x^2+1$$
$$2x^2+x-10=0$$
$$(2x+5)(x-2)=0$$

Получаем $$x=-\frac52$$ или $$x=2.$$ Оба корня подходят проверке.

Ответ

а) $$2$$; б) $$-\frac12$$; в) решений нет; г) $$-\frac52,\ 2$$.