Упр.55.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Равносильно ли уравнение $$2^x=256$$ уравнению: а) $$\log_2 x=3$$; б) $$x^2-9x+8=0$$; в) $$3x^2-24x=0$$; г) $$\frac{16}{x}=2$$?

Рассмотрим уравнение $$2^x=256.$$

Так как $$256=2^8,$$ то

$$2^x=2^8 \Rightarrow x=8.$$

а)

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8.$$

Оба уравнения имеют одно и то же решение $$x=8,$$ значит, они равносильны.

б)

$$x^2-9x+8=0$$

Найдём корни:

$$D=9^2-4\cdot 1\cdot 8=81-32=49,$$

$$x_{1,2}=\frac{9\pm 7}{2},$$

откуда

$$x_1=1,\quad x_2=8.$$

Множество решений отличается от множества решений уравнения $$2^x=256,$$ поэтому уравнения неравносильны.

в)

$$3x^2-24x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$3x(x-8)=0.$$

Тогда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=8.$$

Уравнение $$2^x=256$$ имеет только решение $$x=8,$$ значит, уравнения неравносильны.

г)

$$\frac{16}{x}=2$$

При $$x\neq 0$$ получаем:

$$16=2x,$$

$$x=8.$$

Это же решение имеет уравнение $$2^x=256,$$ значит, уравнения равносильны.

Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да.