Упр.54.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. Какова вероятность того, что случайным образом выбранную из списка задачу:
а) решили оба ученика;
б) решил первый, но не решил второй ученик;
в) решил второй, но не решил первый ученик?
Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.
Обозначим через $$A$$ множество задач, решённых первым учеником, а через $$B$$ — множество задач, решённых вторым учеником. Тогда
$$|A|=44,\quad |B|=26,\quad |A\cup B|=50.$$
Так как каждую задачу решил хотя бы один ученик, то число задач, решённых обоими, равно
$$|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=44+26-50=20.$$
Ход решения
а) Вероятность того, что случайно выбранную задачу решили оба ученика:
$$P(A\cap B)=\frac{20}{50}=0{,}4.$$
б) Только первый ученик решил
$$|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|=44-20=24,$$
поэтому
$$P(A\setminus B)=\frac{24}{50}=0{,}48.$$
в) Только второй ученик решил
$$|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|=26-20=6,$$
значит,
$$P(B\setminus A)=\frac{6}{50}=0{,}12.$$
г) Пусть общее число задач равно $$N$$. Тогда
$$|A\cap B|=44+26-N=70-N.$$
Чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми, нужно, чтобы
$$|A\cap B|=|A\setminus B|.$$
Тогда
$$70-N=44-(70-N),$$
$$70-N=44-70+N,$$
$$2N=96,$$
$$N=48.$$
Ответ
а) $$0{,}4$$; б) $$0{,}48$$; в) $$0{,}12$$; г) $$48$$ задач.
