Упр.54.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. В тёмном ящике — 9 билетов, разложенных по одному в одинаковые конверты. Из них 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы наудачу вытаскиваете 3 конверта. Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные; б) есть ровно один проигрышный билет; в) есть ровно один выигрышный билет; г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Всего способов выбрать 3 билета из 9:

$$N=C_9^3=\frac{9!}{3!\,6!}=84.$$

а)

Благоприятные исходы — выбрать 3 выигрышных билета из 5:

$$N(A)=C_5^3=\frac{5!}{3!\,2!}=10.$$

Тогда

$$P(A)=\frac{N(A)}{N}=\frac{10}{84}=\frac{5}{42}.$$

б)

Ровно один проигрышный билет означает, что два билета выигрышные и один проигрышный:

$$N(A)=C_5^2\cdot C_4^1=10\cdot 4=40.$$

Следовательно,

$$P(A)=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}.$$

в)

Ровно один выигрышный билет означает, что один билет выигрышный и два проигрышных:

$$N(A)=C_5^1\cdot C_4^2=5\cdot 6=30.$$

Тогда

$$P(A)=\frac{30}{84}=\frac{5}{14}.$$

г)

Найдём вероятность противоположного события: ни одного выигрышного билета, то есть все 3 билета проигрышные.

$$N(\overline{A})=C_4^3=4.$$

Тогда

$$P(\overline{A})=\frac{4}{84}=\frac{1}{21}.$$

Искомая вероятность:

$$P(A)=1-\frac{1}{21}=\frac{20}{21}.$$

Ответ

а) $$\frac{5}{42}$$; б) $$\frac{10}{21}$$; в) $$\frac{5}{14}$$; г) $$\frac{20}{21}$$.