Упр.54.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Точка случайным образом выбрана из фигуры, ограниченной параболой $$y=x^2$$, осью абсцисс и прямой $$x=3$$. Найдите вероятность того, что она лежит: а) левее прямой $$x=1$$; б) правее прямой $$x=2$$; в) выше прямой $$y=4$$; г) ниже прямой $$y=1$$.
Площадь всей фигуры равна
$$S=\int_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=\frac{27}{3}=9.$$
а)
Левее прямой $$x=1$$ находится часть фигуры при $$0\le x\le 1$$:
$$S_a=\int_0^1 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac13.$$
Тогда
$$P_a=\frac{S_a}{S}=\frac{1/3}{9}=\frac{1}{27}.$$
б)
Правее прямой $$x=2$$ находится часть фигуры при $$2\le x\le 3$$:
$$S_b=\int_2^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_2^3=\frac{27-8}{3}=\frac{19}{3}.$$
Тогда
$$P_b=\frac{S_b}{S}=\frac{19/3}{9}=\frac{19}{27}.$$
в)
Выше прямой $$y=4$$ лежит часть фигуры там, где $$x^2\ge 4$$, то есть при $$2\le x\le 3$$. Площадь этой части:
$$S_v=\int_2^3 (x^2-4)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|_2^3.$$
$$S_v=\left(9-12\right)-\left(\frac{8}{3}-8\right)=-3+\frac{16}{3}=\frac{7}{3}.$$
Тогда
$$P_v=\frac{S_v}{S}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$
г)
Ниже прямой $$y=1$$ лежит часть фигуры при $$0\le x\le 1$$, где $$x^2\le 1$$, и при $$1\le x\le 3$$ вся область под параболой уже находится выше $$y=1$$. Поэтому
$$S_g=\int_0^1 x^2\,dx+\int_1^1 1\,dx=\int_0^1 x^2\,dx+\int_1^1 1\,dx.$$
Удобнее сразу найти площадь части фигуры ниже $$y=1$$:
$$S_g=\int_0^1 x^2\,dx+\int_1^3 1\,dx=\frac13+2=\frac73.$$
Тогда
$$P_g=\frac{S_g}{S}=\frac{7/3}{9}=\frac{7}{27}.$$
Ответ
а) $$\frac{1}{27}$$; б) $$\frac{19}{27}$$; в) $$\frac{7}{27}$$; г) $$\frac{7}{27}$$.
