Упр.54.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$\sqrt{x}\le 10$$. Найдите вероятность того, что оно:
   а) является решением неравенства $$\sqrt{x}\le 1$$;
   б) принадлежит области определения функции $$y=\ln(40x-39-x^2)$$;
   в) является решением неравенства $$\sqrt{x-10}\le 5$$;
   г) принадлежит области значений функции $$y=0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1$$.

Рассмотрим множество решений неравенства $$\sqrt{x}\le 10.$$

Так как $$x\ge 0,$$ то

$$\sqrt{x}\le 10 \iff 0\le x\le 100.$$

а)

Найдём решения неравенства $$\sqrt{x}\le 1.$$

Имеем

$$\sqrt{x}\le 1 \iff 0\le x\le 1.$$

Тогда искомая вероятность равна

$$P=\frac{1-0}{100-0}=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

б)

Область определения функции $$y=\ln(40x-39-x^2)$$ задаётся неравенством

$$40x-39-x^2>0.$$

Преобразуем:

$$x^2-40x+39<0,$$

$$x^2-40x+39=(x-1)(x-39).$$

Следовательно,

$$1<x<39.$$

Пересечение с множеством $$0\le x\le 100$$ имеет длину $$39-1=38.$$

Тогда

$$P=\frac{38}{100}=0{,}38.$$

в)

Решим неравенство $$\sqrt{x-10}\le 5.$$

С учётом области определения $$x-10\ge 0$$ получаем

$$0\le x-10\le 25.$$

Отсюда

$$10\le x\le 35.$$

Длина этого промежутка равна $$35-10=25.$$

Следовательно,

$$P=\frac{25}{100}=0{,}25.$$

г)

Функция $$y=0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)+1$$ принимает значения, так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ в пределах

$$-0{,}5\le 0{,}5\sin\left(2x+\frac{3\pi}{2}\right)\le 0{,}5,$$

значит

$$0{,}5\le y\le 1{,}5.$$

Длина области значений равна $$1{,}5-0{,}5=1.$$

Тогда

$$P=\frac{1}{100}=0{,}01.$$

Ответ

а) $$0{,}01$$; б) $$0{,}38$$; в) $$0{,}25$$; г) $$0{,}01$$.