Упр.54.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень одного из них равна $$0{,}5$$. Найти вероятность попадания в мишень другого стрелка, если известно, что:

а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна $$0{,}4$$;

б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна $$0{,}45$$;

в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна $$0{,}8$$;

г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна $$0{,}999$$.

Подробный ответ

Обозначим через $$A$$ событие «первый стрелок попал в мишень», через $$B$$ — «второй стрелок попал в мишень». Тогда $$P(A)=0{,}5$$, а нужно найти $$P(B)$$.

Если мишень будет поражена дважды, то произошло событие $$AB$$. Для независимых событий:
$$P(AB)=P(A)\cdot P(B).$$
По условию $$P(AB)=0{,}4$$, значит
$$0{,}5\cdot P(B)=0{,}4,$$
$$P(B)=\frac{0{,}4}{0{,}5}=0{,}8.$$
Ответ: $$0{,}8$$.
Если мишень не будет поражена ни разу, то не попал ни первый, ни второй стрелок:
$$P(\overline A\cdot \overline B)=P(\overline A)\cdot P(\overline B).$$
Тогда
$$\bigl(1-P(A)\bigr)\bigl(1-P(B)\bigr)=0{,}45,$$
$$0{,}5\,(1-P(B))=0{,}45,$$
$$1-P(B)=0{,}9,$$
$$P(B)=0{,}1.$$
Ответ: $$0{,}1$$.
Если мишень будет поражена хотя бы один раз, то
$$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B).$$
По условию $$P(A+B)=0{,}8$$, значит
$$0{,}5+P(B)-0{,}5P(B)=0{,}8,$$
$$0{,}5P(B)=0{,}3,$$
$$P(B)=\frac{0{,}3}{0{,}5}=0{,}6.$$
Ответ: $$0{,}6$$.
Аналогично, если мишень будет поражена хотя бы один раз с вероятностью $$0{,}999$$, то
$$0{,}5+P(B)-0{,}5P(B)=0{,}999,$$
$$0{,}5P(B)=0{,}499,$$
$$P(B)=\frac{0{,}499}{0{,}5}=0{,}998.$$
Ответ: $$0{,}998$$.