Упр.54.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверями, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что:
   а) вы не сможете выйти из зала;
   б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете;
   в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал;
   г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

Общее число способов выбрать две двери из десяти:

$$N=C_{10}^{2}=\frac{10\cdot 9}{2}=45.$$

а)

Не выйти из зала можно только в том случае, если выбраны обе запертые двери:

$$m=C_{4}^{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6.$$

Тогда

$$P=\frac{m}{N}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}.$$

б)

Выйти из зала, но не суметь вернуться через другую дверь, можно, если выбраны одна незапертая и одна запертая дверь:

$$m=C_{6}^{1}C_{4}^{1}=6\cdot 4=24.$$

Следовательно,

$$P=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}.$$

в)

Выйти через одну дверь и вернуться через другую можно, если обе выбранные двери незапертые:

$$m=C_{6}^{2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15.$$

Тогда

$$P=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.$$

г)

Хотя бы через одну дверь можно выйти, если среди выбранных дверей есть хотя бы одна незапертая. Это событие дополняет событие из пункта а):

$$P=1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15}.$$

Ответ: а) $$\frac{2}{15}$$; б) $$\frac{8}{15}$$; в) $$\frac{1}{3}$$; г) $$\frac{13}{15}$$.