Упр.54.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Продолжение задачи 54.4. Карточка лотереи «Спортлото» содержит $$49$$ чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то $$6$$ чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены $$6$$ чисел, верно угадано: а) хотя бы одно число; б) не более одного числа; в) не менее трёх чисел; г) $$4$$, $$5$$ или $$6$$ чисел?

Обозначим через $$k$$ число верно угаданных чисел на карточке. Всего способов выбрать 6 чисел из 49:

$$N=\mathrm{C}_{49}^{6}.$$

Если угадано ровно $$k$$ чисел, то нужно выбрать $$k$$ выигрышных чисел из 6 и $$6-k$$ невыигрышных из 43. Поэтому

$$P(k)=\dfrac{\mathrm{C}_{6}^{k}\mathrm{C}_{43}^{6-k}}{\mathrm{C}_{49}^{6}}.$$

а) Хотя бы одно число

Удобнее найти вероятность противоположного события — не угадано ни одного числа:

$$P(0)=\dfrac{\mathrm{C}_{43}^{6}}{\mathrm{C}_{49}^{6}}=\dfrac{43\cdot42\cdot41\cdot40\cdot39\cdot38}{49\cdot48\cdot47\cdot46\cdot45\cdot44}\approx 0{,}436.$$

Тогда

$$P(k\ge 1)=1-P(0)\approx 1-0{,}436=0{,}564.$$

Ответ: $$56{,}4\%.$$

б) Не более одного числа

Найдём вероятности для $$k=0$$ и $$k=1$$:

$$P(0)\approx 0{,}436,$$

$$P(1)=\dfrac{\mathrm{C}_{6}^{1}\mathrm{C}_{43}^{5}}{\mathrm{C}_{49}^{6}}\approx 0{,}413.$$

Тогда

$$P(k\le 1)=P(0)+P(1)\approx 0{,}436+0{,}413=0{,}849.$$

Ответ: $$84{,}9\%.$$

в) Не менее трёх чисел

Используем дополнение к событию $$k\le 2$$:

$$P(k\ge 3)=1-\bigl(P(0)+P(1)+P(2)\bigr).$$

Найдём $$P(2)$$:

$$P(2)=\dfrac{\mathrm{C}_{6}^{2}\mathrm{C}_{43}^{4}}{\mathrm{C}_{49}^{6}}\approx 0{,}132.$$

Тогда

$$P(k\ge 3)\approx 1-(0{,}436+0{,}413+0{,}132)=0{,}019.$$

Ответ: $$1{,}9\%.$$

г) 4, 5 или 6 чисел

Это событие означает $$k\ge 4$$. Удобно взять дополнение к событию $$k\le 3$$:

$$P(k\ge 4)=1-\bigl(P(0)+P(1)+P(2)+P(3)\bigr).$$

Найдём $$P(3)$$:

$$P(3)=\dfrac{\mathrm{C}_{6}^{3}\mathrm{C}_{43}^{3}}{\mathrm{C}_{49}^{6}}\approx 0{,}0177.$$

Тогда

$$P(k\ge 4)\approx 1-(0{,}436+0{,}413+0{,}132+0{,}0177)=0{,}0013.$$

Ответ: $$0{,}13\%.$$