Упр.54.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Внутри окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами $$6$$ и $$8$$, взята точка. Найдите вероятность того, что она: а) лежит внутри треугольника; б) лежит внутри окружности, вписанной в треугольник; в) лежит вне треугольника; г) лежит внутри треугольника, но не внутри вписанной в него окружности.

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.$$

Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

а)

Вероятность того, что точка лежит внутри треугольника:

$$P=\frac{S_{\triangle}}{S_{\text{окр}}}=\frac{\frac12\cdot 6\cdot 8}{\pi\cdot 5^2}=\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}306.$$

б)

Найдём радиус вписанной окружности:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2.$$

Тогда

$$P=\frac{S_{\text{впис. окр}}}{S_{\text{окр}}}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=\left(\frac{r}{R}\right)^2=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{4}{25}=0{,}16.$$

в)

Вероятность того, что точка лежит вне треугольника:

$$P=1-\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}694.$$

г)

Искомая вероятность равна разности вероятностей попадания внутрь треугольника и внутрь вписанной окружности:

$$P=\frac{24}{25\pi}-\frac{4}{25}=\frac{24-4\pi}{25\pi}\approx 0{,}146.$$

Ответ: а) $$\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}306$$; б) $$0{,}16$$; в) $$1-\frac{24}{25\pi}\approx 0{,}694$$; г) $$\frac{24-4\pi}{25\pi}\approx 0{,}146$$.