Упр.54.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

В прямоугольнике $$ABCD$$ со сторонами $$AB=2$$, $$BC=5$$ случайно выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

1. ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$;
2. ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$;
3. ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$;
4. ближе к вершине $$A$$, чем к точке пересечения диагоналей.

Площадь прямоугольника $$ABCD$$ равна

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=2\cdot 5=10.$$

а)

Точки, которые ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$CD$$, лежат в половине прямоугольника, ограниченной серединной прямой, параллельной этим сторонам. Эта граница делит высоту пополам, значит искомая область — прямоугольник площадью

$$S=\frac{1}{2}S_{ABCD}.$$

Тогда

$$P=\frac{S}{S_{ABCD}}=\frac{1}{2}.$$

б)

Множество точек, которые ближе к вершине $$A$$, чем к вершине $$C$$, отделяется серединным перпендикуляром к диагонали $$AC$$. В прямоугольнике он проходит через центр и делит фигуру на две равные по площади части.

Следовательно,

$$P=\frac{1}{2}.$$

в)

Точки, которые ближе к прямой $$AB$$, чем к прямой $$BC$$, образуют треугольник $$ABE$$, где $$E$$ — точка на стороне $$AD$$, для которой $$AE=AB=2$$.

Тогда

$$S_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AE=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2.$$

Искомая вероятность:

$$P=\frac{S_{ABE}}{S_{ABCD}}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

г)

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Тогда точки, которые ближе к вершине $$A$$, чем к точке $$O$$, образуют трапецию $$ABFG$$.

Найдём её площадь. Так как $$O$$ — центр прямоугольника, то расстояние от $$A$$ до серединного перпендикуляра к $$AO$$ равно $$\frac{1}{4}AC$$, а соответствующие отрезки на верхней и нижней сторонах относятся как в подобных треугольниках. Получаем

$$FC=\frac{3}{4}\cdot \frac{AC^2}{BC}=\frac{3}{4}\cdot \frac{AB^2+BC^2}{BC}=\frac{3}{4}\cdot \frac{2^2+5^2}{5}=\frac{87}{20}.$$

Тогда

$$BF=BC-FC=5-\frac{87}{20}=\frac{13}{20},$$

$$AG=\frac{1}{3}FC=\frac{29}{20}.$$

Площадь трапеции:

$$S_{ABFG}=\frac{AG+BF}{2}\cdot AB=\frac{\frac{29}{20}+\frac{13}{20}}{2}\cdot 2=\frac{42}{20}=2{,}1.$$

Следовательно,

$$P=\frac{S_{ABFG}}{S_{ABCD}}=\frac{2{,}1}{10}=0{,}21.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{2}$$; б) $$\frac{1}{2}$$; в) $$\frac{1}{5}$$; г) $$0{,}21$$.