Упр.54.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$1 \leq |x-3| \leq 5$$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) $$|x| \leq 2$$; б) $$|x-6| \leq 2$$; в) $$|x| \leq 1$$; г) $$1 \leq |x-6| \leq 2$$.

Рассмотрим множество решений неравенства $$1 \le |x-3| \le 5.$$

Раскроем модуль:

$$\begin{aligned} 1 \le x-3 \le 5 &\quad \Rightarrow \quad 4 \le x \le 8,\\ 1 \le -(x-3) \le 5 &\quad \Rightarrow \quad -5 \le x-3 \le -1 \quad \Rightarrow \quad -2 \le x \le 2. \end{aligned}$$

Значит, исходное неравенство имеет решения

$$x \in [-2;2] \cup [4;8].$$

а)

$$|x| \le 2 \quad \Rightarrow \quad x \in [-2;2].$$

Все такие значения входят в множество решений исходного неравенства, поэтому

$$P=\frac{2-(-2)}{(2-(-2))+(8-4)}=\frac{4}{8}=\frac12.$$

б)

$$|x-6| \le 2 \quad \Rightarrow \quad x \in [4;8].$$

Это также целиком входит в множество решений исходного неравенства, значит

$$P=\frac{8-4}{(2-(-2))+(8-4)}=\frac{4}{8}=\frac12.$$

в)

$$|x| \le 1 \quad \Rightarrow \quad x \in [-1;1].$$

Длина этого отрезка равна $$2$$, а длина всего множества решений исходного неравенства равна

$$(2-(-2))+(8-4)=8.$$

Тогда

$$P=\frac{2}{8}=\frac14.$$

г)

$$1 \le |x-6| \le 2.$$

Решим неравенство:

$$\begin{aligned} 1 \le x-6 \le 2 &\quad \Rightarrow \quad 7 \le x \le 8,\\ 1 \le -(x-6) \le 2 &\quad \Rightarrow \quad -2 \le x-6 \le -1 \quad \Rightarrow \quad 4 \le x \le 5. \end{aligned}$$

Значит,

$$x \in [4;5] \cup [7;8].$$

Длина этого множества равна

$$(5-4)+(8-7)=2.$$

Следовательно,

$$P=\frac{2}{8}=\frac14.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$\frac12$$; в) $$\frac14$$; г) $$\frac14$$.