Упр.54.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $$x^2 \leq 9$$. Найдите вероятность того, что оно является решением неравенства: а) $$x^2 \leq 10$$; б) $$2x — 3 \leq 17$$; в) $$x^2 \geq 10$$; г) $$x^3 + 2x \geq 0$$.

Решим неравенство $$x^2 \le 9.$$

Получаем:

$$x^2-9 \le 0$$

$$(x-3)(x+3)\le 0$$

$$-3 \le x \le 3.$$

Все решения выбираются равновероятно из отрезка $$[-3;3].$$ Найдём долю тех, которые удовлетворяют каждому из неравенств.

1. $$x^2 \le 10.$$

   $$x^2-10 \le 0$$

   $$-\sqrt{10}\le x \le \sqrt{10}.$$

   Отрезок $$[-3;3]$$ целиком содержится в отрезке $$[-\sqrt{10};\sqrt{10}],$$ значит, любое выбранное решение подходит.

   $$P=1.$$

2. $$2x-3 \le 17.$$

   $$2x \le 20,$$

   $$x \le 10.$$

   Все числа из $$[-3;3]$$ удовлетворяют этому неравенству, значит,

   $$P=1.$$

3. $$x^2 \ge 10.$$

   $$x \le -\sqrt{10} \text{ или } x \ge \sqrt{10}.$$

   На отрезке $$[-3;3]$$ таких чисел нет, поэтому

   $$P=0.$$

4. $$x^3+2x \ge 0.$$

   $$x(x^2+2)\ge 0.$$

   Так как $$x^2+2>0$$ при любом $$x,$$ то неравенство равносильно

   $$x\ge 0.$$

   На отрезке $$[-3;3]$$ это половина всех решений: $$[0;3].$$

   Тогда

   $$P=\frac{3-0}{3-(-3)}=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$0$$; г) $$\frac12$$.