Упр.53.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любого натурального числа $$n>1$$ и любого положительного числа $$x$$ справедливо неравенство $$(1+x)^n>1+nx$$.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$$(1+x)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+\dots+C_n^{n-1}x^{n-1}+C_n^nx^n.$$

Так как $$C_n^0=1$$, $$C_n^1=n$$, а при $$n>1$$ все остальные биномиальные коэффициенты положительны, то

$$(1+x)^n=1+nx+C_n^2x^2+\dots+C_n^{n-1}x^{n-1}+x^n.$$

При $$x>0$$ все слагаемые
$$C_n^2x^2,\dots,C_n^{n-1}x^{n-1},x^n$$
положительны, значит

$$(1+x)^n>1+nx.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$(1+x)^n>1+nx$$
при любом натуральном $$n>1$$ и любом $$x>0$$.