Упр.53.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Чему равен наибольший коэффициент в разложении $$(a+b)^n$$, если сумма биномиальных коэффициентов разложения равна: а) 1024; б) 512? Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

Используем свойство биномиальных коэффициентов:

$$C_n^0+C_n^1+\dots+C_n^n=2^n.$$

а)

$$2^n=1024=2^{10},$$

значит, $$n=10.$$

Наибольший коэффициент в разложении $$\left(a+b\right)^{10}$$ — средний:

$$C_{10}^5=\frac{10!}{5!\,5!}=252.$$

Такой коэффициент встречается в одном члене разложения: $$C_{10}^5a^5b^5.$$

б)

$$2^n=512=2^9,$$

значит, $$n=9.$$

При нечётном $$n$$ наибольших коэффициентов два:

$$C_9^4=C_9^5=\frac{9!}{4!\,5!}=126.$$

Они соответствуют двум членам разложения: $$C_9^4a^4b^5$$ и $$C_9^5a^5b^4.$$

Ответ: а) $$252$$, один член; б) $$126$$, два члена.