Упр.53.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. В разложении $$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{10}$$ по степеням переменной $$x$$ укажите: а) одночлен, содержащий $$x^8$$; б) одночлен, содержащий $$x^4$$; в) одночлен, содержащий $$x^{-2}$$; г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий $$x$$).

Используем формулу бинома Ньютона:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^k x^{10-2k}.$$

Общий вид одночлена: $$C_{10}^k x^{10-2k}.$$

а)

Найдём одночлен, содержащий $$x^8$$:

$$10-2k=8,$$

$$2k=2,\quad k=1.$$

Тогда

$$C_{10}^1x^8=10x^8.$$

б)

Найдём одночлен, содержащий $$x^4$$:

$$10-2k=4,$$

$$2k=6,\quad k=3.$$

Тогда

$$C_{10}^3x^4=120x^4.$$

в)

Найдём одночлен, содержащий $$x^{-2}$$:

$$10-2k=-2,$$

$$2k=12,\quad k=6.$$

Тогда

$$C_{10}^6x^{-2}=210x^{-2}.$$

г)

Свободный член не содержит $$x$$, значит его степень равна нулю:

$$10-2k=0,$$

$$2k=10,\quad k=5.$$

Тогда

$$C_{10}^5=252.$$

Ответ: а) $$10x^8$$; б) $$120x^4$$; в) $$210x^{-2}$$; г) $$252$$.