Упр.53.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите член разложения, не содержащий переменных:

а) $$\left(2x^2+\frac{1}{x}\right)^6$$;

б) $$\left(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9$$.

Используем формулу бинома Ньютона и найдём слагаемое, в котором переменная не входит.

а)

$$(2x^2+\frac{1}{x})^6=\sum_{k=0}^{6} C_6^k(2x^2)^{6-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k$$

Общий член разложения имеет вид

$$C_6^k(2x^2)^{6-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k = C_6^k \cdot 2^{6-k}\cdot x^{12-2k}\cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k}\cdot x^{12-3k}.$$

Чтобы слагаемое не содержало переменной $$x$$, нужно

$$12-3k=0,\qquad k=4.$$

Тогда искомый член равен

$$C_6^4(2x^2)^2\left(\frac{1}{x}\right)^4 = C_6^4\cdot 4\cdot x^4\cdot \frac{1}{x^4} = 15\cdot 4=60.$$

б)

$$\left(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9 =\sum_{k=0}^{9} C_9^k\left(3\sqrt[4]{a}\right)^{9-k}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^k$$

Общий член разложения:

$$C_9^k\left(3a^{1/4}\right)^{9-k}\left(a^{-1/2}\right)^k = C_9^k\cdot 3^{9-k}\cdot a^{\frac{9-k}{4}-\frac{k}{2}} = C_9^k\cdot 3^{9-k}\cdot a^{\frac{9-3k}{4}}.$$

Чтобы переменная не входила в слагаемое, нужно

$$\frac{9-3k}{4}=0,\qquad 9-3k=0,\qquad k=3.$$

Тогда

$$C_9^3\left(3\sqrt[4]{a}\right)^6\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^3 =84\cdot 3^6\cdot a^{6/4}\cdot a^{-3/2} =84\cdot 729=61236.$$

Ответ: а) $$60$$; б) $$61236$$.