Упр.53.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите коэффициент при $$x^3$$ у многочлена $$P(x)$$:

а) $$P(x)=(1+3x)^4$$;

б) $$P(x)=(3-2x)^5$$;

в) $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$;

г) $$P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$$.

Используем формулу бинома Ньютона и находим нужный член разложения.

1. $$P(x)=(1+3x)^4$$

   Член с $$x^3$$:

   $$C_4^3 \cdot 1^{4-3}\cdot (3x)^3=4\cdot 27x^3=108x^3$$

   Коэффициент при $$x^3$$ равен $$108$$.

2. $$P(x)=(3-2x)^5$$

   Член с $$x^3$$:

   $$C_5^3 \cdot 3^{5-3}\cdot (-2x)^3=10\cdot 9\cdot (-8)x^3=-720x^3$$

   Коэффициент при $$x^3$$ равен $$-720$$.

3. $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$

   Для первой скобки:

   $$C_5^3 \cdot x^3 \cdot 2^{5-3}=10\cdot 4x^3=40x^3$$

   Для второй скобки:

   $$C_4^3 \cdot (2x)^3 \cdot 1^{4-3}=4\cdot 8x^3=32x^3$$

   Тогда коэффициент при $$x^3$$:

   $$40-32=8$$

4. $$P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$$

   В разложении $$\left(x^2-x\right)^4$$ степени имеют вид $$x^{8-k}$$, поэтому одночлена $$x^3$$ там нет.

   Во второй скобке член с $$x^3$$:

   $$C_4^3 \cdot 3^{4-3}\cdot \left(-\frac{x}{3}\right)^3=4\cdot 3\cdot \left(-\frac{x^3}{27}\right)=-\frac{4}{9}x^3$$

   Коэффициент при $$x^3$$ равен $$-\frac{4}{9}$$.

Ответ: а) $$108$$; б) $$-720$$; в) $$8$$; г) $$-\frac{4}{9}$$.