Упр.53.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите коэффициент при первой степени переменной $$x$$ у многочлена $$P(x)$$:
   а) $$P(x)=(1+x)^7$$;
   б) $$P(x)=(1+3x)^4$$;
   в) $$P(x)=(3-2x)^5$$;
   г) $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$.

Используем формулу бинома Ньютона. Коэффициент при $$x^1$$ в выражении $$(a+bx)^n$$ равен $$C_n^1 \cdot a^{\,n-1}\cdot b.$$

Решение

1. $$P(x)=(1+x)^7$$

   Коэффициент при $$x^1$$:

   $$C_7^1 \cdot 1^6 \cdot x = 7x$$

   Значит, коэффициент равен $$7$$.

2. $$P(x)=(1+3x)^4$$

   Коэффициент при $$x^1$$:

   $$C_4^1 \cdot 1^3 \cdot (3x)=4\cdot 3x=12x$$

   Значит, коэффициент равен $$12$$.

3. $$P(x)=(3-2x)^5$$

   Коэффициент при $$x^1$$:

   $$C_5^1 \cdot 3^4 \cdot (-2x)=5\cdot 81\cdot (-2x)=-810x$$

   Значит, коэффициент равен $$-810$$.

4. $$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$

   Коэффициент при $$x^1$$ в первом многочлене:

   $$C_5^1 \cdot 2^4 \cdot x=5\cdot 16x=80x$$

   Коэффициент при $$x^1$$ во втором многочлене:

   $$C_4^1 \cdot 1^3 \cdot 2x=4\cdot 2x=8x$$

   Так как второй многочлен вычитается, получаем:

   $$80x-8x=72x$$

   Значит, коэффициент равен $$72$$.

Ответ

а) $$7$$; б) $$12$$; в) $$-810$$; г) $$72$$.