Упр.53.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Раскройте скобки в выражении: а) $$(x+1)^7$$; б) $$(2x-y)^6$$; в) $$(x^2+2)^5$$; г) $$(1-x^3)^4$$.

Используем формулу бинома Ньютона:

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$$

Ход решения

а)

$$(x+1)^7=C_7^0x^7+C_7^1x^6\cdot 1+C_7^2x^5\cdot 1^2+C_7^3x^4\cdot 1^3+C_7^4x^3\cdot 1^4+C_7^5x^2\cdot 1^5+C_7^6x\cdot 1^6+C_7^7\cdot 1^7$$

Так как $$C_7^0=C_7^7=1,$$ $$C_7^1=C_7^6=7,$$ $$C_7^2=C_7^5=21,$$ $$C_7^3=C_7^4=35,$$ получаем:

$$(x+1)^7=x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1$$

б)

$$(2x-y)^6=C_6^0(2x)^6-C_6^1(2x)^5y+C_6^2(2x)^4y^2-C_6^3(2x)^3y^3+C_6^4(2x)^2y^4-C_6^5(2x)y^5+C_6^6y^6$$

Здесь $$C_6^0=C_6^6=1,$$ $$C_6^1=C_6^5=6,$$ $$C_6^2=C_6^4=15,$$ $$C_6^3=20.$$ Тогда

$$(2x-y)^6=64x^6-192x^5y+240x^4y^2-160x^3y^3+60x^2y^4-12xy^5+y^6$$

в)

$$(x^2+2)^5=C_5^0(x^2)^5+C_5^1(x^2)^4\cdot 2+C_5^2(x^2)^3\cdot 2^2+C_5^3(x^2)^2\cdot 2^3+C_5^4x^2\cdot 2^4+C_5^5\cdot 2^5$$

Так как $$C_5^0=C_5^5=1,$$ $$C_5^1=C_5^4=5,$$ $$C_5^2=C_5^3=10,$$ получаем:

$$(x^2+2)^5=x^{10}+10x^8+40x^6+80x^4+80x^2+32$$

г)

$$(1-x^3)^4=C_4^0\cdot 1^4-C_4^1\cdot 1^3x^3+C_4^2\cdot 1^2(x^3)^2-C_4^3\cdot 1(x^3)^3+C_4^4(x^3)^4$$

Так как $$C_4^0=C_4^4=1,$$ $$C_4^1=C_4^3=4,$$ $$C_4^2=6,$$ имеем:

$$(1-x^3)^4=1-4x^3+6x^6-4x^9+x^{12}$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } (x+1)^7=x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1;\\ &\text{б) } (2x-y)^6=64x^6-192x^5y+240x^4y^2-160x^3y^3+60x^2y^4-12xy^5+y^6;\\ &\text{в) } (x^2+2)^5=x^{10}+10x^8+40x^6+80x^4+80x^2+32;\\ &\text{г) } (1-x^3)^4=1-4x^3+6x^6-4x^9+x^{12}. \end{aligned}$$