Упр.52.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколькими нулями оканчивается число: а) $$10!$$; б) $$15!$$; в) $$26!$$; г) $$100!$$?

В числе нулей в конце факториала столько, сколько пар множителей $$2 \cdot 5$$ содержится в его разложении. Так как двоек всегда больше, достаточно посчитать количество пятёрок:

$$\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \cdots$$

1. $$10!$$

   $$\left\lfloor \frac{10}{5} \right\rfloor = 2$$

   Значит, $$10!$$ оканчивается на $$2$$ нуля.

2. $$15!$$

   $$\left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor = 3$$

   Значит, $$15!$$ оканчивается на $$3$$ нуля.

3. $$26!$$

   $$\left\lfloor \frac{26}{5} \right\rfloor = 5, \qquad \left\lfloor \frac{26}{25} \right\rfloor = 1$$

   $$5 + 1 = 6$$

   Значит, $$26!$$ оканчивается на $$6$$ нулей.

4. $$100!$$

   $$\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20, \qquad \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4$$

   $$20 + 4 = 24$$

   Значит, $$100!$$ оканчивается на $$24$$ нуля.

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$6$$; г) $$24$$.