Упр.52.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее натуральное число $$n$$, для которого:
   а) верно неравенство $$(n + 1)! > (0{,}99n + 5) \cdot n!$$;
   б) верно неравенство $$(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n — 1)!$$;
   в) число $$\frac{2^n}{n!}$$ меньше единицы;
   г) число $$n!$$ составляет более $$1000\%$$ от числа $$(n — 1)!$$.

а) $$\frac{(n+1)!}{n!}>0{,}99n+5$$

$$n+1>0{,}99n+5$$

$$0{,}01n>4$$

$$n>400$$

Наименьшее натуральное число: $$n=401$$.

б) $$\frac{(n+1)!}{(n-1)!}>n+333$$

$$n(n+1)>n+333$$

$$n^2+n>n+333$$

$$n^2>333$$

$$n>\sqrt{333}$$

Так как $$18^2=324<333<361=19^2,$$ то наименьшее натуральное число:

$$n=19$$.

в) $$\frac{2^n}{n!}<1 \iff 2^n<n!$$

Проверим подряд:

$$2^1=2>1!=1$$

$$2^2=4>2!=2$$

$$2^3=8>3!=6$$

$$2^4=16<4!=24$$

Значит, наименьшее натуральное число:

$$n=4$$.

г) Более $$1000\%$$ от числа $$\left(n-1\right)!$$ — это $$10\left(n-1\right)!$$, поэтому

$$n!>10\left(n-1\right)!$$

$$n\left(n-1\right)!>10\left(n-1\right)!$$

$$n>10$$

Наименьшее натуральное число:

$$n=11$$.

Ответ: а) $$401$$; б) $$19$$; в) $$4$$; г) $$11$$.