Упр.52.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

В театре $$10$$ певцов и $$8$$ певиц, а в хоре из премьерной оперы $$5$$ мужских и $$3$$ женские партии.

а) Сколько существует различных составов хора?

б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?

в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?

г) То же, если $$6$$ певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придётся петь мужскую партию.

а) Выбираем 5 певцов из 10 и 3 певиц из 8:

$$C_{10}^{5}\cdot C_{8}^{3} = \frac{10!}{5!\,5!}\cdot \frac{8!}{3!\,5!} = 252\cdot 56 = 14112$$

б) Сначала найдём число всех составов хора, а затем вычтем те, в которых певцы А и Б поют вместе:

$$C_{10}^{5}\cdot C_{8}^{3}=14112$$

Если А и Б уже выбраны, то остаётся выбрать ещё 3 певцов из 8 и 3 певиц из 8:

$$C_{8}^{3}\cdot C_{8}^{3} = 56\cdot 56 = 3136$$

Тогда

$$14112-3136=10976$$

в) Певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В. Возможны два случая:

1) А и В выбраны вместе: тогда остаётся выбрать 4 певцов из 9 и 2 певиц из 7.

$$C_{9}^{4}\cdot C_{7}^{2} = 126\cdot 21 = 2646$$

2) А и В не выбраны: тогда нужно выбрать 5 певцов из 9 и 3 певиц из 7.

$$C_{9}^{5}\cdot C_{7}^{3} = 126\cdot 35 = 4410$$

Итак,

$$2646+4410=7056$$

г) После того как 6 певцов не могут петь, остаётся 4 певца, значит все они будут петь. На мужскую часть нужно выбрать одну певицу из 8, а на женскую — 3 певиц из оставшихся 7:

$$C_{8}^{1}\cdot C_{7}^{3} = 8\cdot 35 = 280$$

Ответ: а) 14112; б) 10976; в) 7056; г) 280.