Упр.52.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Из $$20$$ вопросов к экзамену ученик $$12$$ выучил, $$5$$ совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.
   а) Найдите количество возможных вариантов билета.
   б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?
   в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?
   г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство ответов на вопросы?

Обозначим: выученных вопросов — $$12$$, совсем не просмотренных — $$5$$, остальных — $$20-12-5=3$$.

Ход решения

1. Число возможных билетов из трёх вопросов:

   $$C_{20}^{3}=\frac{20!}{3!(20-3)!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{3\cdot 2\cdot 1}=1140.$$

2. Число билетов, в которых ученик знает ответы на все вопросы:

   $$C_{12}^{3}=\frac{12!}{3!(12-3)!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220.$$

3. Число билетов, в которых есть вопросы всех трёх типов:

   нужно выбрать по одному вопросу из каждой группы:

   $$12\cdot 5\cdot 3=180.$$

4. Число билетов, в которых ученик выучил большинство ответов, то есть знает ответы хотя бы на 2 из 3 вопросов:

   Сначала выберем 2 выученных вопроса и 1 вопрос из остальных $$8$$ вопросов:

   $$C_{12}^{2}\cdot 8=\frac{12\cdot 11}{2}\cdot 8=528.$$

   Добавим билеты, в которых все 3 вопроса выучены:

   $$C_{12}^{3}=220.$$

   Итого:

   $$528+220=748.$$

Ответ

а) $$1140$$; б) $$220$$; в) $$180$$; г) $$748$$.