Упр.52.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько всего человек встретилось, если известно, что: а) каждый здоровался с каждым; б) только один человек не здоровался ни с кем; в) только двое не поздоровались между собой; г) четверо поздоровались только между собой?

Пусть $$n$$ — число людей.

а)

Если каждый здоровался с каждым, то число рукопожатий равно

$$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

По условию:

$$60<\frac{n(n-1)}{2}<70.$$

Тогда

$$120<n(n-1)<140.$$

Подходит только $$n=12$$, так как

$$\frac{12\cdot 11}{2}=66.$$

Ответ: $$12$$.

б)

Если один человек ни с кем не здоровался, то рукопожатий было между оставшимися $$n-1$$ людьми:

$$C_{n-1}^2=\frac{(n-1)(n-2)}{2}.$$

По условию:

$$60<\frac{(n-1)(n-2)}{2}<70.$$

Тогда

$$120<(n-1)(n-2)<140.$$

Подходит только $$n=13$$, так как

$$\frac{12\cdot 11}{2}=66.$$

Ответ: $$13$$.

в)

Если только двое не поздоровались между собой, то число рукопожатий на одно меньше, чем при полном обмене рукопожатиями:

$$C_n^2-1=\frac{n(n-1)}{2}-1.$$

По условию:

$$60<\frac{n(n-1)}{2}-1<70.$$

Тогда

$$61<\frac{n(n-1)}{2}<71,$$

$$122<n(n-1)<142.$$

Подходит только $$n=12$$, так как

$$\frac{12\cdot 11}{2}-1=65.$$

Ответ: $$12$$.

г)

Если четверо поздоровались только между собой, то среди них было

$$C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6$$

рукопожатий, а остальные рукопожатия были между оставшимися $$n-4$$ людьми:

$$C_{n-4}^2=\frac{(n-4)(n-5)}{2}.$$

Тогда

$$60<\frac{(n-4)(n-5)}{2}+6<70.$$

Следовательно,

$$54<\frac{(n-4)(n-5)}{2}<64,$$

$$108<(n-4)(n-5)<128.$$

Подходит только $$n=15$$, так как

$$\frac{(15-4)(15-5)}{2}+6=\frac{11\cdot 10}{2}+6=61.$$

Ответ: $$15$$.