Упр.52.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Три клавиши из семи клавиш, соответствующих нотам до, ре, ми, фа, соль, ля, си одной октавы, можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).
   а) Найдите число всех возможных трезвучий.
   б) Найдите число всех возможных аккордов.
   в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль.
   г) Найдите число всех возможных аккордов, в которых нет подряд идущих нот.

а) Трезвучие — это выбор трёх клавиш с учётом порядка нажатия, значит число всех возможных трезвучий равно

$$A_7^3=\frac{7!}{(7-3)!}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

б) Аккорд — это выбор трёх клавиш без учёта порядка, поэтому

$$C_7^3=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}=35.$$

в) Если аккорд должен содержать ноту соль, то остаётся выбрать ещё две ноты из оставшихся шести:

$$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15.$$

г) Всего аккордов из трёх нот:

$$C_7^3=35.$$

Найдём число аккордов, в которых есть подряд идущие ноты.

Пары соседних нот можно выбрать 6 способами, а третью ноту — из оставшихся 5 нот. Тогда таких аккордов

$$6\cdot 5=30.$$

Но аккорды с тремя подряд идущими нотами при этом посчитаны дважды. Таких аккордов 5:

$$\{до,\,ре,\,ми\},\ \{ре,\,ми,\,фа\},\ \{ми,\,фа,\,соль\},\ \{фа,\,соль,\,ля\},\ \{соль,\,ля,\,си\}.$$

Значит, аккордов, в которых есть подряд идущие ноты,

$$30-5=25.$$

Тогда аккордов, в которых нет подряд идущих нот,

$$35-25=10.$$

Ответ: а) 210; б) 35; в) 15; г) 10.