Упр.52.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите значение $$n$$, при котором:
а) число $$C_{n+1}^{2}$$ составляет 80 % от числа $$C_n^{3}$$;
б) число $$C_{n+1}^{3}$$ составляет 120 % от числа $$C_n^{4}$$;
в) число $$C_{2n}^{n+1}$$ составляет 56 % от числа $$C_{2n+1}^{n-1}$$;
г) число $$C_{2n+3}^{n}$$ составляет 120 % от числа $$C_{2n+2}^{n+1}$$.
Используем формулу сочетаний:
$$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
Ход решения
$$C_{n+1}^2=80\% \text{ от } C_n^3$$
$$C_{n+1}^2=\frac45\,C_n^3$$
$$\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}=\frac45\cdot\frac{n!}{3!(n-3)!}$$
$$\frac{(n+1)n}{2}=\frac{4}{5}\cdot\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$$
$$15(n+1)=4(n-1)(n-2)$$
$$15n+15=4n^2-12n+8$$
$$4n^2-27n-7=0$$
$$D=27^2+4\cdot4\cdot7=841$$
$$n=\frac{27\pm29}{8}$$
$$n_1=-\frac14,\quad n_2=7$$
Так как $$n\in\mathbb N$$, получаем $$n=7$$.
$$C_{n+1}^3=120\% \text{ от } C_n^4$$
$$C_{n+1}^3=\frac65\,C_n^4$$
$$\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=\frac65\cdot\frac{n!}{4!(n-4)!}$$
$$\frac{(n+1)n(n-1)}{6}=\frac65\cdot\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$$
$$20(n+1)=6(n-2)(n-3)$$
$$20n+20=6n^2-30n+36$$
$$6n^2-50n+16=0$$
$$3n^2-25n+8=0$$
$$D=25^2-4\cdot3\cdot8=529$$
$$n=\frac{25\pm23}{6}$$
$$n_1=\frac13,\quad n_2=8$$
Так как $$n\in\mathbb N$$, получаем $$n=8$$.
$$C_{2n}^{n+1}=56\% \text{ от } C_{2n+1}^{n-1}$$
$$C_{2n}^{n+1}=\frac{14}{25}\,C_{2n+1}^{n-1}$$
$$\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}=\frac{14}{25}\cdot\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$$
$$\frac{(2n)!}{(n+1)!}=\frac{14}{25}\cdot\frac{(2n+1)!}{(n+2)!}$$
$$25(n+2)=14(2n+1)$$
$$25n+50=28n+14$$
$$3n=36$$
$$n=12$$
$$C_{2n+3}^{n}=120\% \text{ от } C_{2n+2}^{n+1}$$
$$C_{2n+3}^{n}=\frac65\,C_{2n+2}^{n+1}$$
$$\frac{(2n+3)!}{n!(n+3)!}=\frac65\cdot\frac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}$$
$$\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac65\cdot\frac{1}{(n+1)^2}$$
$$5(2n+3)(n+1)=6(n+2)(n+3)$$
$$10n^2+25n+15=6n^2+30n+36$$
$$4n^2-5n-21=0$$
$$D=5^2+4\cdot4\cdot21=361$$
$$n=\frac{5\pm19}{8}$$
$$n_1=-\frac74,\quad n_2=3$$
Так как $$n\in\mathbb N$$, получаем $$n=3$$.
Ответ
а) $$7$$; б) $$8$$; в) $$12$$; г) $$3$$.
