Упр.52.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$120 < А(k - 3)^2 < 140$$;
   б) $$С6^2 < Аn^2 < С8^2$$;
   в) $$С10^2 < Аx^2 < 60$$;
   г) $$С19^2 < Аx^2 + Сx^2 < 200$$.

Воспользуемся формулами:

$$A_n^2=n(n-1), \qquad C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}.$$

а)

$$120<A_{k-3}^2<140$$

Тогда

$$120<(k-3)(k-4)<140.$$

Раскроем скобки:

$$120<k^2-7k+12<140,$$

$$108<k^2-7k<128,$$

$$108<k(k-7)<128.$$

Подбором находим:

$$15\cdot(15-7)=15\cdot 8=120,$$

значит, $$k=15.$$

б)

$$C_6^2<A_n^2<C_8^2$$

Вычислим:

$$C_6^2=\frac{6\cdot 5}{2}=15, \qquad C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28.$$

Тогда

$$15<n(n-1)<28.$$

Подбором получаем:

$$5\cdot 4=20,$$

значит, $$n=5.$$

в)

$$C_{10}^2<A_x^2<60$$

Вычислим:

$$C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45,$$

а значит

$$45<x(x-1)<60.$$

Подбором:

$$8\cdot 7=56,$$

следовательно, $$x=8.$$

г)

$$C_{19}^2<A_x^2+C_x^2<200$$

Найдём выражение слева:

$$C_{19}^2=\frac{19\cdot 18}{2}=171.$$

Кроме того,

$$A_x^2+C_x^2=x(x-1)+\frac{x(x-1)}{2}=\frac{3}{2}x(x-1).$$

Получаем неравенство

$$171<\frac{3}{2}x(x-1)<200,$$

или

$$114<x(x-1)<\frac{400}{3}.$$

Подбором:

$$12\cdot 11=132,$$

значит, $$x=12.$$

Ответ: а) $$15$$; б) $$5$$; в) $$8$$; г) $$12$$.