Упр.52.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$Аx^5 = 18А(x — 2)^4$$; б) $$А(x — 1)^2 — Сx^1 = 79$$; в) $$Сx^3 = Аx^2$$; г) $$Сx^2 = Аx^3 + Cx^3$$.

Используем формулы $$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$ и $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

а)

$$A_x^5=18A_{x-2}^4$$

$$\frac{x!}{(x-5)!}=18\cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

$$\frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-5)!}=18\cdot \frac{(x-2)!}{(x-6)!}$$

$$\frac{x(x-1)}{x-5}=18$$

$$x(x-1)=18(x-5)$$

$$x^2-x=18x-90$$

$$x^2-19x+90=0$$

$$D=19^2-4\cdot 90=361-360=1$$

$$x_{1,2}=\frac{19\pm 1}{2}$$

$$x_1=9,\quad x_2=10$$

б)

$$A_{x-1}^2-C_x^1=79$$

$$\frac{(x-1)!}{(x-3)!}-\frac{x!}{1!(x-1)!}=79$$

$$\frac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!}-x=79$$

$$(x-1)(x-2)-x=79$$

$$x^2-3x+2-x=79$$

$$x^2-4x-77=0$$

$$D=16+308=324$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 18}{2}$$

$$x_1=-7,\quad x_2=11$$

Так как $$x>0,$$ получаем $$x=11.$$

в)

$$C_x^3=A_x^2$$

$$\frac{x!}{3!(x-3)!}=\frac{x!}{(x-2)!}$$

$$\frac{1}{3!(x-3)!}=\frac{1}{(x-2)!}$$

$$\frac{(x-2)!}{3!(x-3)!}=1$$

$$\frac{x-2}{6}=1$$

$$x-2=6$$

$$x=8$$

г)

$$C_x^4=A_x^3+C_x^3$$

$$\frac{x!}{4!(x-4)!}=\frac{x!}{(x-3)!}+\frac{x!}{3!(x-3)!}$$

$$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{4!(x-4)!}=\frac{x(x-1)(x-2)}{1}+\frac{x(x-1)(x-2)}{3!}$$

$$\frac{x-3}{4!}=1+\frac{1}{3!}$$

$$\frac{x-3}{24}=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$$

$$x-3=28$$

$$x=31$$

Ответ: а) $$9,\,10$$; б) $$11$$; в) $$8$$; г) $$31$$.