Упр.52.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\mathrm{C}x^2=2\mathrm{C}x^2$$;
2. $$\mathrm{C}x^{x-2}=15$$;
3. $$\mathrm{C}x^2+\mathrm{C}(x+1)^2=49$$;
4. $$\mathrm{C}8^x=70$$.

Используем формулу сочетаний $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Ход решения

1. $$C_x^3=2C_x^2$$

   $$\frac{x!}{3!(x-3)!}=2\cdot\frac{x!}{2!(x-2)!}$$

   $$\frac{1}{3\cdot2\cdot(x-3)!}=\frac{2}{2\cdot(x-2)!}$$

   $$6(x-3)!=(x-2)!$$

   $$6=(x-2)$$

   $$x=8$$

2. $$C_x^{x-2}=15$$

   $$\frac{x!}{(x-2)!\,(x-(x-2))!}=15$$

   $$\frac{x!}{(x-2)!\cdot2!}=15$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}=15$$

   $$x^2-x-30=0$$

   $$D=1+120=121$$

   $$x=\frac{1\pm11}{2}$$

   $$x_1=6,\quad x_2=-5$$

   Так как $$x$$ — натуральное число, получаем $$x=6$$.

3. $$C_x^2+C_{x+1}^2=49$$

   $$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(x+1)x}{2}=49$$

   $$\frac{x\bigl((x-1)+(x+1)\bigr)}{2}=49$$

   $$\frac{x\cdot2x}{2}=49$$

   $$x^2=49$$

   $$x=7$$

   Так как $$x>0$$, берём положительное значение.

4. $$C_8^x=70$$

   $$\frac{8!}{x!(8-x)!}=70$$

   $$C_8^x=C_8^{8-x}$$, поэтому достаточно проверить симметричные значения.

   Из таблицы сочетаний: $$C_8^4=70$$.

   Следовательно, $$x=4$$.

Ответ

а) $$8$$; б) $$6$$; в) $$7$$; г) $$4$$.