Упр.51.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. В круге радиусом $$\sqrt{3}$$ с центром в начале координат отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых являются целыми числами. Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что:
   а) она лежит на оси ординат;
   б) она лежит не на координатных осях;
   в) она лежит в круге радиуса $$1$$ с центром в начале координат;
   г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на $$2$$.

В круге радиусом $$\sqrt{3}$$ с центром в начале координат отмечены все точки с целыми абсциссами и ординатами. Так как $$x^2+y^2\le 3$$, то возможны только координаты $$-1,0,1$$. Значит, всего отмечено $$3\cdot 3=9$$ точек:

$$(-1;1),\ (0;1),\ (1;1),\ (-1;0),\ (0;0),\ (1;0),\ (-1;-1),\ (0;-1),\ (1;-1).$$

Ход решения

1. На оси ординат лежат точки с $$x=0$$: это $$(0;1),\ (0;0),\ (0;-1)$$, всего $$3$$ точки.

   $$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$

2. Не на координатных осях лежат точки, у которых $$x\ne 0$$ и $$y\ne 0$$. Таких точек $$4$$:

   $$(-1;1),\ (1;1),\ (-1;-1),\ (1;-1).$$

   $$P=\frac{4}{9}.$$

3. В круг радиуса $$1$$ с центром в начале координат попадают точки, для которых $$x^2+y^2\le 1$$. Это точки

   $$(-1;0),\ (0;1),\ (0;0),\ (1;0),\ (0;-1).$$

   Их $$5$$, значит

   $$P=\frac{5}{9}.$$

4. Условие $$|x-y|>2$$ для точек с координатами $$-1,0,1$$ не выполняется ни для одной точки, поэтому благоприятных исходов нет.

   $$P=0.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{4}{9}$$; в) $$\frac{5}{9}$$; г) $$0$$.