Упр.5.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим точки на числовой окружности, для которых выполняется заданное неравенство, и запишем соответствующие значения $$t$$.

а) $$y>0$$

Это верхняя полуокружность. Границы соответствуют точкам $$t=0$$ и $$t=\pi$$, но они не входят, так как неравенство строгое.

Следовательно,

$$0<t<\pi$$

С учётом периодичности:

$$2\pi k<t<\pi+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

б) $$y<\frac12$$

Граница задаётся уравнением $$y=\frac12$$. На окружности ей соответствуют точки с углами

$$t=-\frac{7\pi}{6}\quad \text{и}\quad t=\frac{\pi}{6}$$

Тогда искомые значения:

$$-\frac{7\pi}{6}<t<\frac{\pi}{6}$$

С учётом периода:

$$-\frac{7\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

в) $$y>\frac12$$

Граница $$y=\frac12$$ соответствует углам

$$t=\frac{\pi}{6}\quad \text{и}\quad t=\frac{5\pi}{6}$$

Значит,

$$\frac{\pi}{6}<t<\frac{5\pi}{6}$$

С учётом периодичности:

$$\frac{\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

г) $$y<0$$

Это нижняя полуокружность. Границы соответствуют точкам $$t=-\pi$$ и $$t=0$$, но они не входят.

Следовательно,

$$-\pi<t<0$$

С учётом периода:

$$-\pi+2\pi k<t<2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$2\pi k<t<\pi+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$

б) $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$

в) $$\frac{\pi}{6}+2\pi k<t<\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$

г) $$-\pi+2\pi k<t<2\pi k,\ k\in \mathbb{Z}$$