Упр.49.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Материальная точка движется по прямой со скоростью, определяемой формулой $$v=v(t)$$ (время измеряется в секундах, а скорость — в сантиметрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 3 секунды, считая от начала движения ($$t=0$$)?
   а) $$v(t)=3t^2-4t+1$$;
   б) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{5t+1}}$$;
   в) $$v(t)=4t^3-6t^2$$;
   г) $$v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}$$.

Путь, пройденный точкой за время от $$t=0$$ до $$t=3$$, равен

$$s=\int_0^3 v(t)\,dt.$$

а)

$$v(t)=3t^2-4t+1$$

$$s=\int_0^3 (3t^2-4t+1)\,dt =\left(t^3-2t^2+t\right)\Big|_0^3 =27-18+3=12.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.

б)

$$v(t)=\frac{1}{\sqrt{5t+1}}=(5t+1)^{-\frac12}$$

$$s=\int_0^3 (5t+1)^{-\frac12}\,dt =\frac{2}{5}\sqrt{5t+1}\Big|_0^3 =\frac{2}{5}\left(\sqrt{16}-\sqrt{1}\right) =\frac{2}{5}(4-1)=\frac{6}{5}.$$

Ответ: $$1{,}2\text{ см}$$.

в)

$$v(t)=4t^3-6t^2$$

$$s=\int_0^3 (4t^3-6t^2)\,dt =\left(t^4-2t^3\right)\Big|_0^3 =81-54=27.$$

Ответ: $$27\text{ см}$$.

г)

$$v(t)=\frac{1}{\sqrt{7t+4}}=(7t+4)^{-\frac12}$$

$$s=\int_0^3 (7t+4)^{-\frac12}\,dt =\frac{2}{7}\sqrt{7t+4}\Big|_0^3 =\frac{2}{7}\left(\sqrt{25}-\sqrt{4}\right) =\frac{2}{7}(5-2)=\frac{6}{7}.$$

Ответ: $$\frac{6}{7}\text{ см}$$.