Упр.49.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\int\limits_{3}^{6}\frac{dx}{2x-1}$$; б) $$\int\limits_{-1}^{0}\frac{dx}{-5x+6}$$; в) $$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4x+1}\,dx$$; г) $$\int\limits_{5}^{8}\frac{dx}{9-x}$$.

Воспользуемся формулой первообразной для логарифмических функций:

$$\int \frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.$$

Ход решения

1. $$\int\limits_{3}^{6}\frac{dx}{2x-1}=\frac{1}{2}\ln|2x-1|\Big|_{3}^{6}$$

   $$=\frac{1}{2}\bigl(\ln(2\cdot 6-1)-\ln(2\cdot 3-1)\bigr)=\frac{1}{2}(\ln 11-\ln 5)=\frac{1}{2}\ln\frac{11}{5}=\frac{1}{2}\ln 2{,}2.$$

2. $$\int\limits_{-1}^{0}\frac{dx}{-5x+6}=-\frac{1}{5}\ln|-5x+6|\Big|_{-1}^{0}$$

   $$=-\frac{1}{5}\bigl(\ln(-5\cdot 0+6)-\ln(-5\cdot(-1)+6)\bigr)=-\frac{1}{5}(\ln 6-\ln 11)=\frac{1}{5}\ln\frac{11}{6}.$$

3. $$\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{4x+1}\,dx=\frac{1}{4}\ln|4x+1|\Big|_{0}^{\frac{1}{2}}$$

   $$=\frac{1}{4}\bigl(\ln(4\cdot \tfrac{1}{2}+1)-\ln(4\cdot 0+1)\bigr)=\frac{1}{4}(\ln 3-\ln 1)=\frac{1}{4}\ln 3.$$

4. $$\int\limits_{5}^{8}\frac{dx}{9-x}=-\ln|9-x|\Big|_{5}^{8}$$

   $$=-(\ln(9-8)-\ln(9-5))=-\ln 1+\ln 4=\ln 4.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{2}\ln 2{,}2$$; б) $$\frac{1}{5}\ln\frac{11}{6}$$; в) $$\frac{1}{4}\ln 3$$; г) $$\ln 4$$.