Упр.49.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\int_1^2 \frac{dx}{x}$$; б) $$\int_1^2 \left(e^x+\frac{1}{x}\right)\,dx$$; в) $$\int_0^1 \frac{0{,}1}{x+1}\,dx$$; г) $$\int_1^2 \left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)\,dx$$.

а) Найдём первообразную:

$$\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.$$

Тогда

$$\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}=\ln|x|\Big|_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2.$$

Ответ: $$\ln 2.$$

б) Разобьём интеграл на сумму:

$$\int\limits_{1}^{2}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=\int\limits_{1}^{2}e^x\,dx+\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}.$$

Тогда

$$\int\limits_{1}^{2}e^x\,dx=e^x\Big|_{1}^{2}=e^2-e,$$

а

$$\int\limits_{1}^{2}\frac{dx}{x}=\ln 2.$$

Следовательно,

$$\int\limits_{1}^{2}\left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^2-e+\ln 2.$$

Ответ: $$e^2-e+\ln 2.$$

в) Вынесем постоянный множитель:

$$\int\limits_{0}^{1}\frac{0{,}1}{x+1}\,dx=0{,}1\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}.$$

Тогда

$$0{,}1\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x+1}=0{,}1\ln|x+1|\Big|_{0}^{1}=0{,}1(\ln 2-\ln 1)=0{,}1\ln 2.$$

Ответ: $$0{,}1\ln 2.$$

г) Разобьём интеграл на сумму:

$$\int\limits_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)dx=\int\limits_{1}^{2}e^{2x}\,dx+\int\limits_{1}^{2}\frac{2}{x}\,dx.$$

Находим:

$$\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C,$$

значит

$$\int\limits_{1}^{2}e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}\Big|_{1}^{2}=\frac{1}{2}(e^4-e^2).$$

Кроме того,

$$\int\limits_{1}^{2}\frac{2}{x}\,dx=2\ln|x|\Big|_{1}^{2}=2\ln 2.$$

Итак,

$$\int\limits_{1}^{2}\left(e^{2x}+\frac{2}{x}\right)dx=\frac{1}{2}(e^4-e^2)+2\ln 2.$$

Ответ: $$\frac{1}{2}(e^4-e^2)+2\ln 2.$$