Упр.49.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3-6x^2+9x+1$$ и касательной к нему в точке $$x=3$$. б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=x^3-3x$$ и касательной к нему в точке $$x=-1$$.
а) Найдём уравнение касательной к графику $$y=x^3-6x^2+9x+1$$ в точке $$x=3$$.
$$f'(x)=3x^2-12x+9,$$
$$f'(3)=3\cdot 3^2-12\cdot 3+9=27-36+9=0,$$
$$f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+1=27-54+27+1=1.$$
Тогда касательная имеет вид
$$y=f'(3)(x-3)+f(3)=0\cdot (x-3)+1=1.$$
Найдём точки пересечения графика и касательной:
$$x^3-6x^2+9x+1=1,$$
$$x^3-6x^2+9x=0,$$
$$x(x^2-6x+9)=0,$$
$$x(x-3)^2=0,$$
откуда $$x=0$$ и $$x=3.$$
На отрезке $$[0;3]$$ график функции расположен выше касательной, поэтому
$$S=\int_0^3 \bigl((x^3-6x^2+9x+1)-1\bigr)\,dx=\int_0^3 (x^3-6x^2+9x)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_0^3=\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}=\frac{27}{4}=6{,}75.$$
б) Найдём уравнение касательной к графику $$y=x^3-3x$$ в точке $$x=-1$$.
$$f'(x)=3x^2-3,$$
$$f'(-1)=3\cdot (-1)^2-3=3-3=0,$$
$$f(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)=-1+3=2.$$
Следовательно, касательная:
$$y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=0\cdot (x+1)+2=2.$$
Точки пересечения графика и касательной:
$$x^3-3x=2,$$
$$x^3-3x-2=0,$$
$$x^3-3x-2=(x+1)^2(x-2)=0,$$
откуда $$x=-1$$ и $$x=2.$$
На отрезке $$[-1;2]$$ график функции расположен ниже касательной, поэтому
$$S=\int_{-1}^2 \bigl(2-(x^3-3x)\bigr)\,dx=\int_{-1}^2 (2-x^3+3x)\,dx.$$
$$S=\left(2x-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^2=6-\left(-2-\frac14+\frac32\right)=\frac{27}{4}=6{,}75.$$
Ответ: а) $$6{,}75$$; б) $$6{,}75$$.
